Автоматов теория, часть теоретической кибернетики, объектом исследования которой являются различные преобразователи дискретной информации; возникла в начале 50-х гг. 20 в. в связи с требованиями практики проектирования вычислительных машин и с разработкой математических моделей процессов переработки информации в биологических, экономических и других системах. Автоматов теория — самостоятельный раздел математики, имеющий разнообразную проблематику и приложения.

  Основными понятиями Автоматов теория являются понятия абстрактного автомата и понятие композиции автоматов. Эти понятия являются разумными абстракциями реально существующих дискретных устройств — автоматов. Понятие абстрактного автомата позволяет характеризовать устройство с точки зрения алгоритма его функционирования, т. е. алгоритма переработки информации, который оно реализует. Понятие композиции автоматов позволяет характеризовать устройство с точки зрения его структуры, иными словами, даёт представление, каким образом данное устройство построено из других, более элементарных.

  Автоматов теория состоит из ряда разделов. Один из разделов: абстрактно-алгебраическая Автоматов теория В этом разделе абстрактные автоматы изучаются с точки зрения исследования их свойств и различных способов задания. Абстрактным автоматом называют объект А = А (U, X, Y, d, l), состоящий из трёх непустых множеств: U — состояний, Х — входных сигналов, Y — выходных сигналов, и двух функций, осуществляющих однозначное отображение множества U´Х в U, d (а, х) переходов и множества U´Х в Y, l (а, x) выходов. Абстрактный автомат называется конечным, если множества U, X, Y — конечны. В абстрактно-алгебраической Автоматов теория можно выделить теорию конечных автоматов и теорию бесконечных автоматов. Основные вопросы теории конечных автоматов можно считать решенными. Наиболее интересными результатами теории конечных автоматов являются: теорема анализа и синтеза конечных автоматов, которая даёт характеристику событий, представленных в конечных автоматах, теоремы об определяющих соотношениях в алгебре регулярных событий, оценки длины экспериментов с конечными автоматами, а также ряд результатов по исследованию алгебраических свойств абстрактных автоматов. В теории бесконечных автоматов рассматриваются различные концепции бесконечных автоматов, точнее выделяются классы бесконечных автоматов специального вида. Этот раздел важен тесной связью с общей теорией формальных языков и грамматик (см. Математическая лингвистика), а также с теорией алгоритмов (см. Алгоритмов теория). В рамках абстрактно-алгебраической Автоматов теория наметился (конец 60-х гг.) подход к решению проблемы создания алгебры алгоритмов и построения аппарата для формальных преобразований выражений в этой алгебре, что позволяет совершенно по-новому подойти к решению такого рода задач, как эквивалентность схем алгоритмов, и даёт возможность эффективно решать оптимизационные задачи в проектировании дискретных устройств.

  Другим разделом Автоматов теория является структурная Автоматов теория Здесь автомат представляется в виде сети, элементы которой выбираются из некоторой заданной совокупности элементарных автоматов, соединены между собой некоторым специальным образом и осуществляют запоминание и преобразование элементарных сигналов. Основными результатами структурной Автоматов теория являются: практическая методика построения сложных логических сетей, исследования по асимптотическим оценкам сложности их, решению проблемы полноты системы элементарных автоматов, кодированию состояний автоматов, оптимальной реализации логических сетей в различных элементных структурах и т. д. Структурная Автоматов теория тесно связана с теорией кодирования, общей теорией переключательных функций, теорией комбинационных схем, теорией информации, теорией надёжности дискретных устройств и т. п.

  Третьим разделом Автоматов теория является теория вероятностных автоматов и самоорганизующихся систем.

  Основные приложения Автоматов теория имеет в практике проектирования и автоматизации проектирования дискретных устройств и, в частности, вычислительных машин. Она приобретает всё более важное значение для таких классических математических дисциплин, как теория алгоритмов, с одной стороны, и таких современных теорий в математике и кибернетике, как теория формальных систем, теория программирования, теория формальных языков и грамматик — с другой.

 

  Лит.: Автоматы. Сб. ст., под ред. Э. Шеннона и Дж. Маккарти, пер. с англ., М., 1956; Глушков В. М, Трахтенброт Б. А, Введение в теорию конечных автоматов, М., 1962; Логика. Автоматы. Алгоритмы, М., 1963; Гилл А., Введение в теорию конечных автоматов, пер. с англ., М. 1966.

  Ю. В. Капитонова.